Эта фраза-пародия (из юмористического рассказа А. П. Чехова) страдает не только орфографической неграмотностью («сией» вместо сей), но и стилистической беспомощностью: в ней нарушено правило, чтобы обозначаемое деепричастием действие относилось к подлежащему. В приведенном примере речь идет о действиях двух предметов в грамматическом значении этого слова: обо мне (я подъезжал к станции) и о шляпе (она слетела). В неправильном построении этого предложения легко убедиться, если переставить деепричастный оборот, обычно свободно располагающийся во фразе: «Шляпа, подъезжая к сей станции, у меня слетела».

Сравните также неправильное употребление деепричастия в предложениях: «Прощаясь с друзьями, одип из них сказал мне…»; «Возвращаясь домой, меня застиг дождь». Примеры из ученических работ: «Живя и вращаясь в аристократическом обществе, у Онегина создались присущие этому обществу навыки, привычки и взгляды»; «Читая эти строки из романа „Как закалялась сталь", создается впечатление, что автор выражает наши мысли и чувства» и т. п. В подобных случаях деепричастные обороты следует заменять придаточными предложениями обстоятельственными.

Встречающиеся у писателей-классиков отступления от литературной нормы представляют собой либо галлицизмы (обороты, возникшие под воздействием французского языка, где такие конструкции допустимы), либо результат влияния народной речи. Например: …Имея право выбирать оружие, жизнь его была в моих руках (А.С. Пушкин); Проезжая на возвратном пути в первый раз весной знакомую березовую рощу, у меня голова закружилась и забилось сердце от смутного сладкого ожидания (И. С. Тургенев).

Не используются деепричастные обороты в безличных предложениях типа «Подходя к лесу, мне стало холодно» (в этом предложении имеется логическое подлежащее мне, но нет грамматического подлежащего, которому можно было бы приписать действие, выраженное деепричастием). Поэтому устарелыми представляются предложения, подобные следующим: …Убедившись, что понять этого он не сможет, ему стало скучно (Л.Н.Толстой); Прочитав внимательно рассказ, мне думается, что редакторских поправок в нем нет (М. Горький).

Возможно употребление деепричастного оборота в безличном предложении при неопределенной форме глагола, например: Выполняя это упражнение, нужно руководствоваться указаниями, приведенными в задании.